Родился 6 июля 1951 года в австралийском городе Тувумба. Мать будущего актера Мерли работала продавцом-консультантом в магазине, а отец Рой Баден Раш был бухгалтером Королевских военно-воздушных сил Австралии. Когда мальчику исполнилось пять лет родители развелись. Он остался с матерью. В таком сокращенном составе семья переехала к родителям Мерли в пригород Брисбена, третьего по величине австралийского города после Сиднея и Мельбурна. Джеффри прошел обучение в государственной средней школе Эвертон Парк, и получил степень искусств в Университете Квинсленда. В студенческие годы представители из Театральной компании Квинсленда разглядели в Раше актерский талант, и пригласили в труппу.
Начиная с 1971 года актер исполнил роли в семнадцати постановках. В 1975 году Джеффри отправился в Париж, где в театре Жака Лекока на протяжении двух лет изучал искусство пантомимы, а затем вновь вернулся в Театральную компанию. Затем в 1979 году Раш арендовал квартиру вместе с другим начинающим австралийским актером Мелом Гибсоном. Они оба были заняты в постановке пьесы ирландского драматурга Сэмюэля Беккета «В ожидании Годо». Первой кинематографической работой для Раша стал американский триллер Дэмиена Харриса «Обман» с Голди Хоун в главной роли. Затем режиссер Майкл Гроссман пригласил его в семейный музыкальный фильм снятый для телеканала Disney «Звездная болезнь». Далее последовали роли в телевизионных драмах.
В 1996 году Джеффри исполнил главную роль в драме Скотта Хикса «Блеск». Его героем стал одаренный австралийский пианист, проживший очень непростую жизнь. За эту работу актер получил Премию «Оскар» и награду за исполнение лучшей мужской роли. Картина стала настоящим прорывом в карьере. В 1997 году на экраны вышла историческая мелодрама по роману Лауреата Букеровской премии Питера Кэри «Оскар и Люсинда», где Джеффри исполнил голос за кадром. Его партнерами по фильму стали Кейт Бланшетт и Райф Файнс. В следующем году он сыграл роль инспектора Жавера в классическом историческом фильме Билле Огуста «Отверженные», снятом по одноименному произведению Виктора Гюго. Вместе с ним над созданием картины работали Лиам Нисон, Ума Турман и Клер Дэйнс. Параллельно с этим Раш исполнил роль в исторической драме индийского кинорежиссера Шекхара Капура «Елизавета». Сюжет картины рассказывал о периоде правления английской королевы Елизаветы I. На съемках актер вновь встретился с Кейт Бланшетт и другим еще одним представителем семьи Файсов Джозефом. Сотрудничество с ним продолжилось в комедийной мелодраме Джона Мэддена «Влюбленный Шекспир». Главную женскую роль исполнила Гвинет Пэлтроу. За эту работу Раш был удостоен премии BAFTA за исполнение лучшей роли второго плана.
Очередным интересным проектом стала биографическая историческая драма Филипа Кауфмана «Перо маркиза де Сада», созданная по мотивам пьесы Дага Райта в 2000 году. Картина рассказывала историю о последних годах жизни эпатажного французского аристократа проведенных в стенах психиатрической лечебницы. Джеффри воплотил образ де Сада, и получил премию «Золотой спутник», и был номинирован на «Оскар». Через два года зрители насладились игрой актера в исторической драме основанной на реальных событиях «Фрида», где он с блеском сыграл роль крупного политического деятеля Льва Троцкого. В общей сложности актер исполнил более тридцати пяти киноролей, среди которых также стоит отметить биографическую ленту «Банда Келли», приключенческий экшн «Пираты Карибского моря», комедию «Невыносимая жестокость», триллер «Мюнхен», исторический фильм «Золотой век» и драму «Король говорит!».
