Детство провёл в Ессентуках, куда семья переехала после его рождения. Уже с малых лет Эвклид знал, что в будущем станет артистом. Окончив восемь классов средней школы, уехал в Днепропетровск и поступил в театральное училище. До того как его забрали в армию, работал в театре города Луцка. Демобилизовавшись, стал актёром труппы Пятигорского театра. Одна из самых ярких ролей, сыгранных на его сцене, – Мизгирь в постановке «Снегурочка». В том театре Эвклид Кюрдзидис не задержался. Решив продолжить актёрское образование, он поступил во ВГИК, а в 1997 окончил его с красным дипломом.
На киноэкране дебютировал ещё студентом второго курса. В картине «Несут меня кони» он исполнил небольшую роль грека. Активно сниматься Эвклид начал только после 1997 года. Поначалу его приглашали играть героев восточной национальности: Шрам – в сериале «Мужская работа», Вагиф – в «Спецназе». Наиболее интересной в этом отношении стала работа в фильме «Война» Алексея Балобанова. В нём он предстал в образе чеченца по имени Руслан – старика с золотыми зубами. Для того чтобы перевоплотиться в этого персонажа, приходилось подолгу наносить грим. Не менее интересная роль ожидала Эвклида Кюрдзидиса в картине «Бабий Яр» американского режиссёра Джеффри Кэнью, повествующей о трагических событиях времён Великой Отечественной войны. После выхода на экраны ленты «Супертёща для неудачника» стало понятно, что, помимо драматического, актёр наделён и ярким комедийным талантом. Умение играть смешно он продемонстрировал и в таких фильмах и сериалах, как «Бальзаковский возраст, или Все мужики сво...», «От 180 и выше», «Любовь-Морковь», «Дикари». Среди последних работ актёра в кино можно выделить роли в фильмах «Судьба государя», «1612», «Лабиринт».
Параллельно со съёмками в кино Эвклид Кюрдзидис играет в театре: в мюзикле «Энни», спектаклях «Эй, Труффальдино!», «Ladies’ Night», «Венецианская ночь».
