В 1998 году Кори окончил Оберлинский Колледж, а через пять лет получил степень бакалавра в Нью-Йоркском Университете по актёрской программе «Tisch School of the Art». В 2004 году актёр был впервые номинирован на премию «Драма Деск» за второстепенную роль в пьесе «Intimate Apparel».
С тех пор Кори активно начал сниматься в кино и на телевидении. В 2010 году он сыграл в фильме «Солт» с актрисой Анджелиной Джоли в главной роли. Затем ему досталась роль детектива Томаса Ярузельского в популярном сериале «Закон и порядок: Лос-Анджелес». За роль Эрнеста Хемингуэя в картине «Полночь в Париже» актёр дважды был номинирован на премию «Независимый дух» (лучшая мужская роль второго плана). Ради этой роли Кори пришлось постоянно носить на съёмках парик.
Также он исполнял временные роли в сериалах «Закон и порядок», «Морская полиция: спецотдел», «Скорая помощь», «Полиция Нью-Йорка», «Хорошая жена».
Самой заметной его работой стала роль конгрессмена Питера Руссо в сериале 2013 года «Карточный домик». Его герой – безвольная пешка в руках Фрэнка Андервуда, сыгранного Кэвином Спейси. Актёр был номинирован на такие премии, как «Золотой Глобус», «Выбор телевизионных критиков» в качестве лучшего актёра второго плана.
В 2014 году актёр получил ведущую роль в снятом по сценарию Гильермо дель Торо сериале «Штамм». Столл сыграл эпидемиолога, борющегося с опасным вирусом вампиризма.
В этом же году Кори получил роль злодея Дэррена Кресса в фантастическом боевике «Человек-Муравей», который основывается на сюжете комиксов «Marvel». В интервью актёр признался, что сюжет сценария фильма приятно удивил его. Кори недоумевал, как такой интересный сюжет до сих пор не попал в руки других талантливых режиссёров.
