Родился 25 апреля 1940 года в Москве. Интерес к сцене у Михаила проявился еще в детстве. Вместе с Андреем Смирновым, впоследствии именитым кинорежиссером, он участвовал в школьной самодеятельности. Их эстрадные программы имели большой успех, и Кононов укрепился в желании стать аристом.
Получив аттестат зрелости, Михаил поступил в Высшее театральное училище им. М. С. Щепкина. С ним азы актерского мастерства постигали Виталий Соломин, Виктор Павлов и Олег Даль. После окончания «Щепки» Кононов присоединился к Академическому Малому театру, правда, проработал он там недолго и в 1968-м уволился из-за конфликта с руководством.
В кинематографе Михаил дебютировал еще студентом, в 1961-м: он сыграл Витьку в мелодраме Ивана Пырьева «Наш общий друг». С тех пор за ним закрепилось амплуа простого, обаятельного и немного наивного паренька из народа. За свою карьеру актер не раз исполнял героев с похожим характером: Витька Аникин в «До свидания, мальчики!» Михаила Калика, Малешкин в героической комедии «На войне как на войне» Владимира Трегубовича, Колька в киноповести «Первый троллейбус» Исидора Анненского.
Одна из самых выдающихся работ Кононова – роль Фомы в исторической драме «Андрей Рублев» знаменитого режиссера Андрея Тарковского.
К началу 1970-х годов Михаил был уже достаточно известным актером, но всенародная слава пришла к нему только в 1973-м, после выхода четырехсерийного художественного фильма Алексея Коренева «Большая перемена». Кононов сыграл главного героя Нестора Петровича вместе с такими знаменитостями, как Евгений Леонов, Александр Збруев, Савелий Крамаров. История об учениках вечерней школы и их классном руководителе до сих пор остается любимой картиной миллионов россиян.
Кононов также много снимался в кино для детей. В 1975 году режиссер Геннадий Васильев пригласил его в свою сказку «Финист – Ясный Сокол» на роль Яшки-писаря, которая ему прекрасно удалась. Впоследствии Михаил сыграл также в картине «Пока бьют часы» (начальник стражи Грызун), в сказке «Кольца Альманзора» (садовник Зинзивер), в известной фантастической ленте «Гостья из будущего» (космический пират Крыс). Кроме того, актер занимался озвучкой мультфильмов.
Начиная с конца 1980-х Кононов появлялся на экране все реже и реже. От работы в сериалах отказывался, а о современном российском кинематографе отзывался негативно. Последняя роль, сыгранная Кононовым – дворник Спиридон Данилыч в драме Глеба Панфилова «В круге первом» по роману Александра Солженицына.
Актера не стало 16 июля 2007 года. Он похоронен в колумбарии Ваганьковского кладбища.
